DETERMINACIÓN DE NIVELES GENÉTICOS EN LA CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO PARA LA PROGRAMACIÓN DE ACTIVIDADES EN EDUCACIÓN INFANTIL.

Rosa María Pons Parra

José Manuel Serrano González-Tejero

Universidad de Murcia

INTRODUCCIÓN

            Tanto desde una perspectiva piagetiana como vigotskiana el proceso de aprendizaje requiere determinar un campo de conocimiento, más allá de su conocimiento real, que el sujeto pueda adquirir sin generar lagunas cognitivas.    Desde los posicionamientos vigotskianos esto equivale a decir que hay que determinar la zona de desarrollo próximo. Desde planteamientos piagetianos supone determinar el nivel genético hacia el que tiende el mecanismo procesual de equilibración mayorante del individuo.

En efecto, el concepto de zona de desarrollo próximo, propuesto por Vigotsky, pretende responder a la pregunta sobre cómo puede una persona interiorizar los contenidos curriculares y extracurriculares y llevar, por tanto, al individuo, más allá de sus competencias actuales y se define como “la distancia entre el nivel de desarrollo real, determinado por la capacidad de resolver independientemente un problema, y el nivel de desarrollo potencial, determinado a través de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con un compañero más capaz” (Vigotsky, 1979; p. 133). En estas acciones guiadas los adultos o los compañeros más capaces, ejercen una relación de tutoría muy específica, controlando el centro de atención y manteniendo los segmentos de la tarea en que participan, siempre en un nivel de complejidad adecuado a las posibilidades de los niños y las niñas, mediante un proceso de ajuste en el que “el adulto permanece siempre en el límite creciente de la competencia del niño” (Bruner, 1988; p. 86).

El concepto de equilibración mayorante, desarrollado por Piaget, hace referencia a la necesidad de adecuación recíproca entre las soluciones dadas por un sujeto a una situación-problema y las características de esa situación que puede procesar significativamente. Este es su nivel de desarrollo real y, a partir de él, el sujeto irá construyendo nuevos significados de lo real, igualmente significativos, siempre y cuando las nuevas y más evolucionadas adecuaciones entre los esquemas del sujeto y la realidad respondan a procesos de reequilibración mayorante, lo que equivale a decir que el nuevo nivel de equilibrio no es uno cualquiera de los posibles mejores niveles de equilibrio, sino el más «próximo», el menor de los mayores, el mayorante.

Como se puede comprobar, Piaget y Vigotsky confluyen en la consideración de que el aprendizaje supone la construcción o la incorporación del objeto de conocimiento a los esquemas del sujeto o, si se quiere, al repertorio de conductas y prácticas utilizadas por el sujeto, y que esta apropiación sólo puede ser posible si las características o propiedades del objeto que se pretenden incorporar al sujeto, se encuentran en la zona de desarrollo próximo (Piaget diría que en la zona de desarrollo «más» próximo).

Esta aproximación entre ambas teorías es la que fija los objetivos e hipótesis de nuestro trabajo.

Para Piaget el número es un elemento fundamental en el desarrollo cognitivo del sujeto en tanto que categoría del conocimiento. Para Vigotsky el número es un elemento fundamental en el desarrollo del sujeto en cuanto que herramienta psicológica. Para ambos la construcción del número debe seguir un proceso que tienda hacia la zona de desarrollo más próxima (lo que el sujeto puede significativamente aprender) desde la zona de desarrollo real del sujeto (lo que el niño ya sabe). Por tanto, todo diseñador de un proceso instruccional sobre el número debe saber dos cosas que son condiciones de prerrequisito. En primer lugar que el número es un instrumento fundamental para la interpretación de lo real y; bien sea considerado como una de las doce categorías del conocimiento, bien sea considerado como una herramienta psicológica inherente al sistema humano de signos; una construcción inadecuada puede tener graves repercusiones en aprendizajes posteriores y en el propio desarrollo del sujeto. En segundo lugar, que un adecuado aprendizaje del número sólo puede ser efectuado mediante la precisa determinación de la zona de desarrollo más próxima al niño, lo que supone una análisis pormenorizado de los diferentes niveles genéticos que subyacen al trayecto evolutivo de esta noción o contenido instruccional.

La clásica distinción piagetiana (Piaget y Szeminska, 1975; pp. 17-56) de tres niveles en el desarrollo del concepto de número (no conservación, intermedio y conservación, o sus equivalentes en términos de estadios, preconcepto, intuición, operación) que se corresponderían, más o menos, con los tres cursos del 2º Ciclo de la Educación Infantil, son, a todas luces, insuficientes para plantear un diseño instruccional que permita garantizar un proceso de adquisición sin lagunas.

El objetivo que nos proponemos es establecer un conjunto de niveles de desarrollo en el concepto de número que permitan una planificación del proceso instruccional con ciertas garantías de éxito, de manera que podamos efectuar un diagnóstico inicial de los pequeños para determinar qué es lo que realmente saben (cuál es su zona de desarrollo real) y sepamos a dónde hemos de llevarlos (cuál es su zona de desarrollo próximo).

 

MÉTODO

Sujetos

La muestra estaba compuesta por 165 sujetos pertenecientes al 2º Ciclo de Educación Infantil, extraídos al azar de la población de alumnos de esta Etapa en el Ayuntamiento de Murcia. Se consideraron los cursos como estratos poblacionales equivalentes, por lo que había igual número de alumnos (55) por nivel. Las edades estaban comprendidas entre los tres años dos meses y los 6 años 0 meses.

Procedimiento

El procedimiento seguido fue el siguiente: se utilizaban las fichas de un juego convencional de damas y el experimentador se colocaba frente al pequeño. A continuación se le decía: “Mira, vamos a jugar con estas fichas, yo voy a jugar con las blancas (el experimentador se quedaba con las doce fichas blancas) y tú vas a jugar con las negras (se entregaban al niño las doce fichas negras). El juego consiste en que yo voy a poner unas cuantas fichas de las mías formando una hilera y tú, con las tuyas, tienes que poner debajo, las mismas fichas, que yo, ¿lo has entendido?, tienes que poner con tus fichas, las negras, el mismo número de fichas blancas que yo he puesto; si lo haces bien tú ganas, si no lo haces bien gano yo”.

En función de su ejecución, las conductas de los pequeños fueron agrupadas en siete niveles genéticos:

ôNivel 0: Dentro de este nivel se encuentran aquellos sujetos que no parecen comprender las consignas que se les proporciona. La conducta más común consiste en efectuar una copia cualitativa y global del modelo, sin establecer ningún tipio de correspondencia, ni siquiera de tipo óptico. El pequeño se limita a establecer un conjunto compuesto por un mayor o menor número de elementos y la colección testigo parece no representar nada para él. Su conducta se podría interpretar como si consideraran la consigna como una orden para poner en marcha la acción de colocar fichas y la colección testigo como un modelo arbitrario entre los infinitos modelos posibles. En definitiva su ejecución no responde ni a las consignas dadas, ni a la disposición de la colección elaborada por el experimentador.

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                                                               ˜  ˜         ˜                    

ôNivel 1: Los sujetos que se incluyen en este nivel son aquellos que realizan una comparación global con evaluaciones fundadas en el espacio ocupado por la colección testigo. Cuando el experimentador le formula la consigna de que «ponga el mismo número de fichas que hay en el modelo propuesto», el niño no efectúa, ni una correspondencia término a término, ni analiza las unidades discretas que componen la colección, de manera que ésta forma un todo indisociable que no puede ser objeto más que de evaluaciones globales, podría decirse que el sujeto hace una copia cualitativa y global del modelo y funda sus juicios en la forma del conjunto de la colección y en relaciones espaciales de tipo perceptivo. Colocar el mismo número de fichas lo entienden como si significara copiar el modelo desde la perspectiva de alguna de sus cualidades. Es evidente que, como en el nivel anterior, la desigualdad («mayor que» o «menor que») carece de sentido.

a)                                                                                 b)

™  ™  ™  ™  ™  ™  ™                                    ™  ™  ™  ™  ™  ™  ™

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜                                ˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜

˜  ˜  ˜  ˜  ˜

ôNivel 2: Las conductas que reflejan este nivel consisten esencialmente en que el sujeto puede establecer una alineación de fichas cuya longitud es idéntica a la de la colección testigo, es decir, establece la igualdad o espacial o identidad cualitativa. Para el pequeño dos colecciones son iguales si ocupan el mismo espacio, independientemente de su cualidad numérica. Estamos, por tanto, ante conductas de sujetos que evalúan las cantidades discretas como si fueran continuas: una cantidad es un continuo espacial. En este nivel, aunque por otras razones, la desigualdad numérica no tiene tampoco sentido aritmético ya que, si una colección de elementos discretos se desea hacer «menor» se «juntan» sus elementos y si se quiere hacer «mayor» se «separan».

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˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

ôNivel 3: En este nivel aparece la utilización de un esquema de correspondencia uno-a-uno, pero aún no puede desprenderse del dominio perceptivo que preside sus evaluaciones, por eso, después de que ha construido la igualdad, si se le oculta la colección testigo y se le pregunta ¿cuántas fichas blancas hay?, responde que no se puede saber, o responde con el primer número que se le ocurre. Tampoco podemos analizar la desigualdad numérica expresada en los términos «mayor que» o «menor que», porque la igualdad construida, aunque añada al nivel anterior el uso del primer esquema cuantificador de la realidad como es la correspondencia biunívoca, este esquema no se encuentra interiorizado y presenta un carácter cualitativo, como lo demuestra el hecho de que ocultando una de las hileras y dejando a la vista la otra, no es capaz de establecer el cardinal de la hilera oculta.

™  ™  ™  ™  ™  ™  ™

˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜

ôNivel 4: Los niños que se encuentran situados en este nivel, son capaces de utilizar un esquema de correspondencia uno-a-uno interiorizado pero este esquema está muy lejos todavía de ser operatorio (no olvidemos que una operación no es sólo una acción interiorizada, esta acción tiene que ser, además, reversible), porque se encuentra sujeto al avatar de la percepción. De esta manera, cuando después de haber utilizado este esquema, aparentemente de forma correcta, haber determinado la igualdad del cardinal de ambos conjuntos y siendo capaz de mantenerla incluso a pesar de perder el dato perceptivo-espacial (tras ocultarle la colección testigo formada por de fichas blancas),

™  ™  ™  ™  ™  ™  ™

˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜

cuando se desplazan las fichas de manera que la penúltima ficha de la colección-testigo (blancas) se encuentre en correspondencia óptica con la última de la colección formada por el pequeño (negras) y, a pesar de decir el experimentador que sólo va a moverlas y que no va a añadir o quitar ninguna ficha de su colección

™   ™   ™   ™   ™   ™   ™

˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜

desaparece la identidad numérica para el niño y afirma que en la fila de fichas blancas hay una más que en la fila de fichas negras. Si se le pide que las cuente y, tras repetir el mismo número para ambas colecciones, mantiene que la colección testigo es mayor que la realizada por él, tras lo cuál, si le preguntamos qué tendría que hacer para recuperar de nuevo la igualdad dice que “añadir una (a su colección)” o “quitar una (de la colección testigo)”. Existe, por tanto, una clara confusión entre un esquema aritmético (lógico-matemático) como es la adición (o la sustracción) y un esquema perceptivo-espacial como es el desplazamiento. Con respecto a la desigualdad, expresada a través de los cuantificadores «más» y «menos», podemos observar una clara subjetivización de la cuantificación que le hace asociar esos dos vectores a los escalares subjetivos «muchos» y «pocos», respectivamente. En efecto, cuando le damos la colección de siete fichas blancas y se le pide (a) que haga una colección más numerosa que la dada (“pon más que yo”) o (b) menos numerosa que la dada (“pon menos que yo”), la ejecución podría ser similar a esta:

a)          ™  ™  ™  ™  ™  ™  ™           b)        ™  ™  ™  ™  ™  ™  ™

˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜                      ˜  ˜  ˜

Da, por tanto, la impresión de ser capaz de comprender qué es y de ser capaz de construir un conjunto menos numeroso que otro dado, pero no un conjunto más numeroso. Sin embargo, si la colección testigo tiene tres fichas y le demandamos lo mismo que con anterioridad, es decir, (a) que construya un conjunto más numeroso y (b) menos numeroso, la situación se invierte

a')         ™  ™  ™                                 b')      ™  ™  ™

˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜                      ˜  ˜  ˜

y parece que, ahora, es capaz de “construir el más”, pero no es capaz de construir el menos”. La explicación es que el pequeño efectúa una asociación de los “vectores objetivos” (más-menos) a los “escalares subjetivos” (muchos-pocos). Traduciendo con cierta libertad el pensamiento del pequeño a través de sus propias explicaciones diríamos que, en las situaciones de pon más que yo, su razonamiento es el siguiente: él ha puesto muchas y me dice que ponga muchas (más) como él (a); él ha puesto muchas y me dice que ponga (menos) pocas (b); él ha puesto pocas y me dice que ponga (más) muchas (a'); él ha puesto pocas y me dice que ponga pocas (menos) como él (b').

ôNivel 5: En este nivel se constatan conductas que comienzan a estar orientadas a la conservación del número o, si se prefiere, a la conservación de las cantidades discretas. Con respecto a la desigualdad observamos que han desaparecido casi por completo las conductas subjetivas de ‘centración' y van siendo sustituidas por conductas de ‘relativización', lo que conduce a una diferenciación progresiva entre los cuantificadores subjetivos («muchos» y «pocos») y los vectores objetivos («más» y «menos»). Con relación a la igualdad numérica podemos ver que, aunque la identidad numérica se encuentra sometida todavía al dato perceptivo, ya se atisban los primeros esbozos de reversibilidad, debido a una clara diferenciación de los esquemas espaciales (físicos) y aritméticos (lógico-matemáticos), de manera que ante una modificación de la disposición espacial de los elementos, como la ejemplificada con anterioridad, encontramos conductas «no conservadoras» ya que continúa considerando “los elementos de las hileras correspondientes como definidos  por sus cualidades intuitivas de orden espacial” (Piaget y Szeminska, 1975; p. 106) pero vemos que ya “despunta un comienzo de coordinación operatoria que llegará a su término en el siguiente nivel” (ibid., p. 89). En efecto, tanto si modificamos la longitud de la colección testigo, como si añadimos un nuevo elemento a esta colección, el pequeño afirma que la igualdad desaparece:

a)          ™   ™   ™   ™   ™   ™   ™                b)        ™  ™  ™  ™  ™  ™  ™  ™    

˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜                                  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜  ˜

pero cuando le preguntamos que “qué hay que hacer para restablecer de nuevo la igualdad” es capaz de anticipar que la anulación de la acción que, en el primer caso (a), pasa por desplazar las fichas de su hilera, negándose a admitir la posibilidad de añadir una ficha y, en el segundo (b), la anulación de la acción supone añadir una ficha a su hilera, negándose a admitir que también pudiera hacerse por un desplazamiento de las fichas negras de manera que ocuparan el mismo espacio que las blancas. Esta conducta es lo que se conoce como retorno empírico o reversibilidad empírica y que Gréco (1962) denominó conservación de la cotidad.

ôNivel 6: Este nivel que podíamos llamar, con Piaget, nivel de correspondencia operatoria con equivalencia necesaria, supone la conservación del número y, por tanto, su consideración como esquema operacional de cuantificación. En este momento del desarrollo el pequeño mantiene la identidad numérica incluso ante las contra-argumentaciones del experimentador de la forma: “¿cómo vamos a tener las mismas si mi hilera es más larga?”. Los argumentos de conservación son de cuatro tipos: “tenemos las mismas porque tú tienes siete y yo también tengo siete” (argumento numérico); “tenemos las mismas porque tú ni has quitado ni has añadido nada” (argumento de identidad); “tenemos las mismas porque éstas (las blancas) están más largas, pero éstas (las negras) están más juntas” (argumento de compensación) o “tenemos las mismas porque si volvemos a juntarlas (recuperando la correspondencia óptica) estarían igual” (argumento de reversibilidad).

Si su conducta era la propia de lo descrito en los niveles 0, 1, ó 2, se le decía: “Muy bien, me has ganado” y se suspendía la prueba.

Si la conducta era la de la figura correspondiente al nivel tres, se le ocultaba con la mano la hilera de fichas blancas y se le preguntaba por el cardinal de este conjunto, diciéndole: “Muy bien. Ahora mira, yo tapo con mis manos las fichas blancas, ¿cuántas fichas blancas hay tapadas?”. Si la respuesta era incorrecta o decía: “si no quitas las manos no las puedo contar” o daba respuestas similares se suspendía la prueba. En el caso que respondiera correctamente se continuaba procediendo de la siguiente manera:

Se desplazaban las fichas de la hilera blanca de manera que la última ficha negra estuviera en correspondencia óptica con la penúltima de las blancas y se le preguntaba: “Y ahora, ¿tenemos las mismas?”. Si la respuesta era: “No, ahora tú tienes más”, se le pedía que restableciera la igualdad diciéndole: “Entonces, ¿qué habría que hacer para tener de nuevo las mismas?”. Si la solución aportada consistía en añadir una ficha negra o quitar una blanca, se pasaba a recomponer la situación y, partiendo de la identidad establecida por correspondencia perceptiva, se añadía una ficha más, interrogándole de la misma forma sobre esta nueva situación: “Y ahora, ¿tenemos las mismas?”. Si la respuesta era: “no, ahora tú tienes más”, se le pedía que restableciera la igualdad diciéndole: “entonces, ¿qué habría que hacer para tener de nuevo las mismas?”. En este segundo caso, la respuesta era, invariablemente, “añadir una (negra) más”, tras lo cual el experimentador actuaba y le contra-argumentaba del siguiente modo: “Pero, ¿no podríamos también juntar un poco las blancas (o separar un poquito las negras)?” -al mismo tiempo realizaba la acción de separar las fichas negras (o juntar las blancas) de manera que se reestableciera la identidad espacial-. Si el niño admitía que era también posible, se suspendía el interrogatorio con relación a la igualdad y se comenzaba a trabajar la desigualdad, en base a los cuantificadores «más» y «menos».

En esta situación se partía del mismo conjunto de siete fichas blancas pero se le pedía que construyera, no la igualdad (“pon las mismas que yo”), sino la desigualdad, diciéndole: “Bueno, ahora en vez de poner las mismas que yo, vas a poner, como antes, debajo de las mías, más fichas que yo” y, una vez realizado se le decía (tras retirar las fichas negras puestas y manteniendo las siete fichas blancas): “Ahora vas a poner menos que yo”. Si sus ejecuciones eran similares a las descritas en el nivel 4 (a) y (b), se procedía a retirar todas las fichas y el experimentador construía con sus fichas blancas una hilera que contenía las mismas fichas que el conjunto elaborado por el pequeño cuando se le pidió que pusiera menos que el experimentador (en el ejemplo, tres), tras lo cuál se procedía de la misma manera, Si la ejecución era la misma que la descrita en las situaciones (a') y (b') se suspendía la prueba y se le adscribía al nivel 4.

Si, ante estas mismas situaciones de construcción de la igualdad y la desigualdad las respuestas del sujeto hubieran sido:

a)                     Con relación a la identidad numérica y situándonos en la actividad que implica «desplazamiento de las fichas», el pequeño nos dice que en la colección de fichas desplazadas hay más y que para tener las mismas hay que desplazar las negras, negándose a admitir la posibilidad de que la igualdad se pudiera lograr añadiendo una ficha a su colección y, por el contrario, en la actividad de «adición de una ficha a la colección testigo», se niega a admitir la posibilidad de que se pueda conseguir la igualdad merced a un desplazamiento de las fichas de su hilera que haga coincidir perceptivamente las dos últimas fichas de cada colección, no considerando más solución que la adición de otra ficha a la hilera de las negras; siendo, además, capaz de construir un conjunto «más numeroso» y «menos numeroso» que otro dado (independientemente del número de fichas de la colección testigo), entonces lo situaríamos en el nivel 5.

b)                     Si es capaz de conservar la identidad numérica a pesar de los desplazamientos y las contra-argumentaciones a favor de la disposición espacial de las fichas, entonces lo situaríamos en el nivel 6.

Las pruebas se pasaron inmediatamente después del periodo vacacional de Navidad.

Análisis de datos

            Una vez que los sujetos fueron adscritos a los diferentes niveles genéticos se procedió a efectuar un análisis de Cluster con el programa SPSS (versión 11.0) que arrojó los siguientes resultados:

 

 

Niveles	0	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	.053	.050	.047	.015	.009	.007
2	0	.050	.103	.104	.045	.012	.008
3	0	.047	.104	.116	.036	.017	.005
4	0	.015	.045	.036	.101	.032	.021
5	0	.009	.012	.017	.032	.206	.131
6	0	.007	.008	.005	.021	.131	.150

Matriz semejante (varianza-covarianza)

 

Análisis de Cluster

 

Resultados

Los resultados obtenidos vienen a confirmar nuestra hipótesis de partida de que, incluso a nivel de la macrogénesis, las etapas propuestas por Piaget en el seno del subestadio de preparación de las operaciones concretas (subestadio preoperacional) deben ser matizadas. En efecto, los elementos de la matriz semejante de varianza-covarianza que determinan el cluster, muestran niveles de similitud muy bajos entre los niveles genéticos establecidos por lo que se puede concluir que estos niveles son hitos diferenciales en el desarrollo de la noción de número.

El primer agrupamiento se forma con los niveles 2 y 3 en los que el establecimiento de la igualdad presenta una característica común: tiene un carácter espacial. El hecho de que en el nivel 3 aparezca un esbozo de correspondencia no modifica el sentido perceptivo de la igualdad establecida entre las dos colecciones, aunque sí confiere una situación diferencial a los mismos para considerarlos genéticamente distintos.

El segundo de los agrupamientos se produce entre los niveles 5 y 6 que son los niveles de reversibilidad, empírica y operatoria, respectivamente. En el caso del nivel 5, los propios autores de La génesis del número en el niño, Jean Piaget y Alina Szeminska, confirman que, en este nivel “despunta un comienzo de coordinación operatoria”, por lo que no es extraño que, dentro del escaso nivel de similitud, se produzca este agrupamiento temprano en relación con otros agrupamientos del «cluster». Sin embargo, una cosa es ser capaz de anular la acción en el plano de la acción y otra muy distinta es poder anular la acción en el plano del pensamiento por lo que la diferencia, desde la perspectiva evolutiva, entre estos dos niveles es manifiesta.

El tercer agrupamiento se efectúa entre los niveles 0 y 1 que son conductas claramente preconceptuales. En ambos casos parece que la consigna sólo incita a poner en marcha la acción del sujeto y la noción de «igual» o de «las mismas» carecen de significado. Sin embargo, el nivel 1 añade algo novedoso sobre el anterior que supone un cierto progreso evolutivo importante para el establecimiento de la igualdad numérica: hay que tener en cuenta alguna cualidad del modelo e intentar copiarla, solo que, evidentemente, esta cualidad no es su cualidad numérica.

Finalmente, el nivel 4 se muestra como un nivel de transición entre la no conservación y la reversibilidad (empírica u operatoria), agrupándose al mismo nivel de semejanza, aproximadamente, con los niveles 5-6 y 2-3.

 

CONCLUSIONES Y DISCUSIÓN

Nuestro trabajo ha puesto de manifiesto la necesidad de matizar los aspectos macrogenéticos que emanan de las conductas terminales del subestadio de preparación de las operaciones concretas y que en la teoría de Piaget hacen referencia, respectivamente, a la conclusión del periodo preconceptual, de las intuiciones simples y de las intuiciones articuladas.

La adquisición del concepto de número y su utilización como instrumento psicológico para discretizar y categorizar el continuo fue, y es, una avance cognitivo tremendamente importante, tanto en la filogénesis como en la ontogénesis. La necesidad, por tanto, de programar actividades encaminadas a efectuar un aprendizaje de esta noción básica sin fisuras y sin lagunas es una obligación de todo diseñador del proceso instruccional. Lograr una secuenciación de tareas que acoten la zona de desarrollo próximo y posibiliten a los pequeños efectuar reestructuraciones cognitivas en la línea de un proceso de equilibración mayorante que acorte las distancias entre los significados, se nos antoja fundamental para la adquisición del conocimiento, ya sea éste, declarativo, procedimental u operatorio.

En este sentido, las teorías acerca de la instrucción en matemáticas han mostrado la necesidad de distinguir entre la estructura lógica de esta disciplina (su peculiar organización interna) y su estructura psicológica que hace referencia a la secuencia óptima en la presentación de los contenidos matemáticos para su aprendizaje. Para determinar esta secuencia óptima hemos tratado de establecer las etapas por las que pasa un pequeño hasta adquirir las primeras nociones numéricas de base. Estas etapas nos permitirán elaborar actividades encaminadas a lograr el ajuste adecuado entre la dificultad de la tarea y las posibilidades de nuestros pequeños. No se trata pues de programar actividades para la adquisición del concepto de número, sino de programar actividades, por ejemplo, para que el sujeto ponga en marcha un esquema de correspondencia uno-a-uno, posteriormente, habrá que programar actividades para se que produzca la necesaria disociación entre las acciones y los esquemas físicos y espaciales (separar y juntar) y las acciones y los esquemas lógico-matemáticos (añadir o quitar), y así paulatinamente hasta adquirir la conservación del número.

Finalmente, sabemos que en toda actividad de aprendizaje hemos de partir del conocimiento matemático informal que los alumnos tienen y, como se puede observar a lo largo del procedimiento desarrollado, desde los niveles 0 a 4, hemos asistido a una posición sistemática en todos los pequeños que consiste en evaluar las cantidades discretas como si fueran continuas; en este sentido parecería apropiado comenzar a trabajar las nociones numéricas a partir de cantidades continuas que los propios alumnos pudieran discretizar, por ejemplo una botella de agua o cualquier otro líquido que pudiera ser compartido por varias personas y, de esta manera, discretizarla mediante el establecimiento de unidades más o menos arbitrarias (¿cuántas niñas pueden beber de esta botella?, ¿cuántos vasos se pueden llenar con el líquido de esta botella?, etc.), porque como ha sido ya ampliamente probado, un elemento esencial para que el alumno pueda avanzar hacia niveles de abstracción en su conocimiento matemático es el uso de modelos y herramientas manipulativas, visuales y gráficas, que sirvan como apoyo para la transformación de su conocimiento matemático informal en otro más formal y eficiente, pasando siempre de lo más a lo menos concreto, de la actividad a la simbolización.

 

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Bruner, J. (1988): Realidad mental y mundos posibles. Barcelona: Gedisa.

Gréco, P. (1962): Quantité et quotité. En J. Piaget (ed.), Structures numériques élémentaires. París: Presses Universitaires de France.

Piaget, J. y Szeminska, A. (1975): La génesis del número en el niño. Buenos Aires: Guadalupe.

Vigotsky, L.S. (1979): El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Madrid: Crítica.