“¿Es Usted Más Grande que Yo?”

El Pensamiento Matemático del Niño Pequeño sobre la Medida

Ponencia presentada en la Conferencia sobre Pensamiento Matemático Lógico

Madrid, España

Juanita V Copley

Profesor, Plan de Estudios e Instrucción

Facultad de Educación

Universidad de Houston

            “¿Es usted más grande que mi profesor?" Jeffery, un niño de cuatro años preguntó al gordito director de su colegio cuando iba en camino al autobús escolar.

            La respuesta optimista de la Sra. Hix fue "¿Quieres decir más alto?"

            “No, no…¡Más números!” Jeffery replicó enseguida.

            La Sra. Hix se rió y respondió “Sí.” Se encogió de hombros y pensó, “Los niños siempre me sorprenden. ¡Yo pensaba que se refería a peso, dije altura, y él quiso decir edad! Una vista muy diferente de 'más grande.' ¡No tenía ni idea a lo que él se refería!”  (de Copley, et al, 2004).

            Los niños pequeños están fascinados con conceptos de medidas. Constantemente miden su tamaño, altura,  cuánto, la distancia y el peso comparados con sus amigos. En las experiencias cotidianas, como elegir la galleta más grande o vertiendo zumo en un vaso demasiado pequeño, los niños usan y desarrollan sus nociones intuitivas de comparar volúmenes, superficie, longitud y otros atributos que eventualmente aprenderán a medir. Como adultos, a menudo pensamos en las medidas en términos de fórmulas, reglas y cilindros graduados. Pero los niños se encuentran con medidas en muchos contextos todos los días mientras exploran e intentan dar sentido a su mundo (Copley, 2000, p.125).

            Paso mucho tiempo observando y escuchando niños pequeños. De hecho, enseño semanalmente en aulas con niños pequeños, y mi experiencia allí combinada con los resultados de investigación me han informado de la comprensión del pensamiento de medida de los niños pequeños. En esta presentación, quiero compartir conversaciones, grabaciones audiovisuales en aulas y fotos de los niños pequeños mientras ellos miden. Ustedes deben saber que existe un conflicto entre lo que yo observo que los niños hacen y lo que creo que pueden hacer, y constantemente me asombran por su habilidad de experimento, su juego con conceptos nuevos y su facilidad para generalizar sobre lo que han aprendido. Este descubrimiento es especialmente verdadero cuando se habla de los conceptos de medida de los niños pequeños. En esta presentación quiero compartir con ustedes algunos de estos descubrimientos, relacionarlos a los resultados de investigación y finalmente hablar sobre el papel importante del profesor en el desarrollo de estos conceptos,

            Necesito destacar una cosa importante antes de empezar el primer video. Sepan ustedes que creo que las actividades de medidas con niños preescolares son exploratorias y la meta no es la perfección. El papel del profesor en el desarrollo de la comprensión de medida de los niños es introducir conceptos de medida a través de una variedad de experiencias utilizando el vocabulario apropiado para describir el proceso. Mas importante que en la medida, los profesores no deberían limitar sus expectaciones de los niños pequeños. ¡Proveer de una variedad de experiencias junto con reflexión y comunicación sobre esas experiencias dará resultados muy sorprendentes!

            Empecemos. Hablaré sobre tres ideas de medida en esta presentación: 1) el reconocimiento y vocabulario de los atributos de medida, 2) la comparación y el ordenamiento y 3) el proceso y los comportamientos de medir. Con cada idea, empezaré con fotos, comentarios de los niños o videos de los niños pequeños experimentando con medidas. Desgraciadamente, no puedo compartir copias de los videos o las fotos con ustedes. Los padres de los niños pequeños me han dado permiso solo para compartirlos durante una presentación, y no pueden ser distribuidos. Sin embargo, podremos seguir las experiencias con resultados de investigación que están relacionadas específicamente con estas ilustraciones. Concluiré con una discusión sobre el papel del profesor en el desarrollo de estos conceptos.

Reconocimiento y Vocabulario de Atributos de Medida

            "¡Ála, esa jirafa realmente puede estirar el cuello gigantemente!"

            "Esta roca es gorda... No puedo moverla."

            "¡Tengo cuatro libras de edad... Acabo de hacer mi fiesta de cumpleaños!

            Como estos pocos ejemplos ilustran, los niños usan de forma natural el lenguaje de medida y comparativo para hablar de sus entornos y relación con otros animales u objetos. Aunque el lenguaje que emplean es incorrecto o general a menudo, los niños pequeños saben que existen maneras diferentes para describir medidas. Empiezan a reconocer los atributos de longitud, capacidad, peso, superficie y tiempo. Sin embargo, a menudo no son capaces de utilizar el vocabulario correcto para describir un atributo específico. De hecho, a menudo ellos utilizan las palabras en situaciones inadecuadas, grande y pequeño para describir longitud, volumen, peso, superficie e incluso tiempo. Antes de que los niños aprendan a medir, primero deben poder describir y diferenciar los atributos de un objeto por longitud, capacidad, peso y superficie.

Comparar y Ordenar

            Primero, los niños comparan dos objetos utilizando un atributo específico de medida. La primera comprensión de los niños de medida de longitud implica la comparación directa de objetos (Linquist, 1989; Miller and Baillargeon, 1990). Primero, los niños comparan dos objetos y dicen que uno es más alto o más bajo que el otro, que contiene más o menos que otro, que pesa más o menos que otro o que tapa más o menos superficie que otro. Inicialmente, las ideas de los niños sobre el tamaño o cantidad de un objeto están basadas en la percepción. Juzgan que un objeto es más grande que otro porque parece más grande (Piaget & Inhelder, 1967). Pueden colocar los objetos juntos para comparar sus longitudes. Pueden agarrar un objeto en cada mano para comparar sus pesos, si los pesos difieren significantemente. Pueden colocar una hoja encima de otra para ver cuál tiene una superficie más grande, si la forma más pequeña cabe dentro de los límites de la hoja más grande (Clements, 2003). Además, pueden describir las diferencias en las duraciones de acontecimientos.

            El segundo paso sería comparar tres o más objetos o acontecimientos, y ponerlos en orden, una tarea mucho más difícil, y que requiere mucha experiencia en resoluciones de problemas. Uno de los componentes de medida es la idea de transitividad (si longitud A mide menos que longitud B, y longitud B mide menos que longitud C, luego longitud A mide menos que longitud C). Ésta es una idea que los niños pequeños típicamente no pueden conceptuar sin muchas experiencias y conversaciones.

            Los Comportamientos y Procesos de Medida

            Como observadores activos, los niños ven que los adultos miden para resolver problemas en su mundo. Los niños pequeños empiezan a modelar comportamientos de medida, y frecuentemente experimentan con herramientas estándares y no estándares. Sabemos que la medida real se trata de asignar un número a un atributo de un objeto, como la longitud de una alfombra o la capacidad de una jarra. Comprender cómo medir con precisión es una habilidad que los niños tardan años en aprender, y es un proceso que requiere muchas experiencias. Los niños de cuatro años pueden empezar a aprender el proceso de medir con unidades no estándares. Pueden colocar cadenas de plástico idénticas una tras otra contándolas para medir la longitud de una habitación, Pueden cubrir una hoja de papel con pegatinas para medir la superficie de la hoja de papel. Pueden utilizar peluches como contadores para medir el peso de un juguete. Ideas e investigaciones actuales sostienen que los niños se benefician del uso de reglas y otras herramientas de medida incluso durante sus primeras actividades relacionadas con la medida. Mientras acumulan experiencia, pueden aprender que las unidades deben coincidir completamente para medir longitud, y que las longitudes de unidad en una regla deben ser contadas, y no las marcas sobre cada número (Boulton-Lesi, Wilss, & Mutch, 1996; Clements, 2003).

            El proceso de medir está basado en algunos componentes fundamentales: conservación (un objeto mantiene la misma forma y tamaño si es movido o dividido en partes), transitividad ((mencionada en la sección anterior), unidad (el número y tamaño de las unidades se usa consistentemente para la medida de un objeto) e iteración (por ejemplo, utilizar peluches en cadenas para medir la longitud de una alfombra). Para medir con eficacia, los niños pequeños pueden experimentar con comportamientos de medida usando caramelos en forma de palitos o hilo para medir altura, arroz o arena en un cubo para medir cuánta masa de galletas necesitan para su fiesta y rocas o canicas para medir el peso del hámster de la clase. Esta experimentación con unidades no estándares es un paso preliminar a la comprensión de por qué el uso de las herramientas estándares es importante para medir con precisión. La investigación indica que en el primer año del colegio, los niños usan unidades para descubrir la longitud de objetos diferentes, y que asocian conteos mayores con objetos más largos (Hiebert, 1981a; 1984). Sin embargo, a menudo no entienden la necesidad de tener unidades idénticas de medida de longitud. Mezclan libremente unidades como pulgadas y centímetros, contando todos para 'medir' una longitud (Leher, Jenkins, and Osana, 1998). La investigación actual también sostiene que las ideas de medida dependen de las nociones de unidades, y de unidades compuestas (McClain, Cobb, Gravemeijer, & Estes, 1999; Outhred & Mitchelmore, 2000). En el nivel de infancia temprana, la experimentación con comportamientos de medida es esencial para la comprensión matemática. Mientras los niños desarrollan, aprenden a conservar, a razonar con transitividad, a seleccionar unidades o herramientas apropiadas para el atributo que es medido y a medir con copias múltiples de unidades del mismo tamaño.

¿Qué debe de hacer el profesor para facilitar la habilidad de medir en un niño? Aquí tenemos algunas sugerencias respaldadas por mis investigaciones y mis experiencias en clase.

Proporcionar muchas herramientas estándares para el uso de los niños

Reglas, medidores de yardas y metros, cinta métricas, escalas, papel de cuadrícula y vasos de medir son las herramientas que se deberían incluir en todas las aulas de niños de temprana edad. Los niños deberían ser animados a usarlas "como ellos prefieran" para sus experimentos con medidas. Igualmente, los profesores u otros adultos deberían hacer un uso apropiado de ellas indispensable en la rutina de las clases diarias.

Modelar los comportamientos de medida frecuentemente

Hay muchas oportunidades para medir que ocurren durante el día en un aula de niños de temprana edad. Medir la longitud de la clase cuando se necesita una alfombra nueva, usar el reloj para determinar cuantos minutos quedan hasta la comida, decidir si una pila de libros es demasiado pesada para coger o decidir si una pieza de estraza es lo suficientemente grande para cubrir algo son actividades de medida. Para ayudar a los niños a desarrollar una comprensión de medida, estas actividades necesitan ser adaptadas explícitamente para los niños. Destacar lo que usted está haciendo mientras mide algo les animará a participar en su propia exploración con medidas.

Hablar de lo que hace mientras mide

Un aspecto importante para cualquier actividad de medida es el lenguaje oral que es usado para describir la actividad. Hablar en voz alta mientras la actividad de medida se lleva a cabo ayuda a los niños a enfocarse en la actividad y la estrategia especifica que se emplea.

Animarles a resolver problemas de medida

Muchas actividades de resolución de problemas engloban actividades de medida. Carreras de coches entre el coche del profesor y el coche de la clase ofrecen buenas oportunidades para medir justamente (especialmente cuando la distancia a la que viaja el coche del profesor se mide con palitos pequeños y la distancia que la que viaja el coche de la clase se mide con palos más largos). Mantas hechas con papel coloreado que deben ser cubiertas por formas rectangulares diferentes requieren la experimentación con la superficie. Construir un puente de paja para Las Siete Cabritas del cuento crea una oportunidad para la comprensión del concepto de peso. Cocinar una receta para toda la clase provee de muchas oportunidades para medir capacidades, y para operaciones de adición. Éstas son solamente algunas ideas que fueron iniciadas por niños pequeños. ¡Existen muchas más!

Aprovechar las experiencias para hablar de conceptos de medida

Existen muchas experiencias que conducen a conversaciones o modelaciones de conceptos de medida. La más obvia es la de tiempo. Decidir cuánto tiempo queda en muchas situaciones son preguntas que son contestadas todos los días. Aprovéchate de estas preguntas cotidianas utilizando un temporizador que visualmente muestra el tiempo pasar. Un temporizador visual y el uso de palabras de comparación para describir el tiempo ayudarán a los niños a entender la medida de tiempo.

El uso del vocabulario de estimación

La mayoría de las medidas no necesitan ser exactas. A menudo, una estimación basta para medidas de longitud, peso o capacidad. Los niños necesitan escuchar vocabulario de estimación (por ejemplo, sobre, cerca y casi) en su contexto, en situaciones que reflejan la vida real.

Asesora el progreso de los niños y tu comprensión a través de observaciones y preguntas

Para asesorar el progreso de los niños con medida, debes observar a los niños de manera consistente cada dos o tres semanas. Observa a los niños en centros de interés y en entornos de grupos mientras usan herramientas para medir, intentan colocar objetos en espacios específicos, usan vocabulario de medida, vierten agua o arroz en contenedores o usan los términos 'más grande' para describir algo.

Mientras los niños completan las actividades o trabajo en entornos de grupos pequeños, pregúntales las preguntas siguientes:

Sobre la longitud:

            ¿Cuál es más largo (o corto)?

Puedes encontrar algo más largo (o corto) que esto? ¿Cómo me lo puedes demostrar?

¿Cuánto lazo necesitas para rodear esto? ¿Cómo lo puedes averiguar solamente mirando?

¿Puedes poner estas tres pajitas en orden del más corto al más largo? ¿Cómo puedes demostrarme que tu respuesta es correcta? ¿Dónde pondrías este cuarta pajita? ¿Cómo lo sabías?

Sobre la superficie:

            ¿Qué forma puede ser cubierta con el número mayor (o menor) de piezas?

¿Necesitas más piezas para cubrir la mesa o el libro? ¿Cómo puedes demostrar que tu respuesta es correcta?

¿Qué pasará si utilizas estas piezas diferentes para cubrir el libro? ¿Necesitas más de las primeras piezas o de las otras?

Sobre el peso:

            ¿Cuál pesa más (o menos)? ¿Cómo lo sabes?

            ¿Cómo puedes demostrar que persona pesa más (o menos)?

            Pon tres rocas en la balanza, una por una. ¿Cómo sabes qué roca es la más (o menos) pesada?

Sobre la capacidad:

            ¿Qué contenedor tiene más (o menos) capacidad? ¿Por qué piensas así?

            ¿Cómo puedes averiguar en qué contenedor cabe más agua?

¿Y si tuvieras tres contenedores? ¿Cómo averiguarías en cuál de ellos cabe más agua si solamente pudieras llenar un contenedor a la vez?

Sobre el tiempo:

            ¿Se tarda más en caminar a la puerta o en escribir tu nombre?

            ¿Se tarda más de un minuto en caminar a casa? ¿Por qué piensas así?

¿Qué hacemos cuando venimos al colegio? ¿Qué hacemos después? ¿Y antes de comer? ¿Cómo pasamos la mayoría del tiempo en clase?

¿Qué tardó más (o menos)?

El desarrollo de la comprensión de medida de los niños pequeños es un tema emocionante y sorprendente. ¡Yo lo seguiré investigando con los niños pequeños mientras observo y escucho sus pensamientos!

Referencias:

            Boulton-Lesis, G., Wilss, L., & Mutch, S. (1996).  An analysis of young children's strategies and devices for length measurement.  Journal of Mathematical Behavior, 15, 329-347.

            Clements, D. (2003).  Editor.  Engaging young children in mathematics:  Standards for early childhood mathematics.  New Jersey:  Lawrence Erlbaum Associates.

            Copley, J.V., Glass, K., Nix, L., Faseler, A., De Jesus, M., and Tanksley, S., (2004, February).  Measuring experiences for young children.  Teaching Children Mathematics.  pg. 314-319.

            Copley, J. V., (2000).  The young child and mathematics. (pgs. 125 – 146).  National Council Teachers of Mathematics and National Association for the Education of the Young Child.

            Hiebert, J. (1981a).  Cognitive development and learning linear measurement.  Journal for Research in Mathematics Education, 12, 197-211. 

            Lehrer, R., Jenkins, M., & Osana, H. (1998).  Longitudinal study of children's reasoning about space and geometry.  In R. Lehrer & D. Chazan (Eds.), Designing learning environments for developing understanding of geometry and space (pp. 137-167).  Mahwah, NJ:  Erbaum. 

            Linquist, M. (1989).  The measurement standards.  Arithmetic Teacher, 37, 22-26.

            McClain, K., Cobb, P., Gravemeijer, K., & Estes, B. (1999).  Developing mathematical reasoning within the context of measurement.  In L. V. Stiff (Eds.), Measuring mathematical reasoning in grades K-12, (pp. 93-106).  Reston, VA:  National Council of Teachers of Mathematics. 

            Miller, K. Fl, & Baillargeon, R. (1990).  Length and distance:  Do preschoolers think that occlusion brings things together?  Developmental Psychology, 26, 103-114. 

            Outhred, L.N., & Mitchelmore, M. C. (2000).  Young children's intuitive understanding of rectangular area measurement.  Journal for Research in Mathematics Education, 31, 144-167.